"Экономический анализ: теория и практика", 2007, N 7

ОЦЕНКА СТАТЕЙ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

ПРИ НЕЧЕТКИХ ПРЕДПОЧТЕНИЯХ ЭКСПЕРТОВ

В подготовке инвестиционных решений достаточно большое место занимают процедуры анализа, связанные с суммированием различных показателей. Это оценки инвестиций методом сравнения издержек, анализ потоков платежей (КФ-анализ), анализ поступлений и т.п.

Поскольку инвестиционный процесс развивается во времени, то оценки по соответствующим статьям анализа имеют приблизительный характер, что предопределяет неопределенность конечных оценок, которая не соответствует аксиоматике классической теории вероятностей. Представление соответствующих значений в виде нечетких чисел и применение математического аппарата так называемых мягких вычислений представляется в данном случае весьма естественным. В самом простом случае можно ограничиться учетом имеющейся неопределенности только через форму представления нечетких чисел: изменение ширины базового множества, выбор соответствующего вида функции принадлежности.

В этом случае наиболее рациональным представляется использование электронных нечетких таблиц, например Fuzi Calc [1]. Результаты здесь получаются также в виде нечетких чисел, а их сравнение может быть выполнено на основе известных методов [2]. В то же время фактор неопределенности здесь учитывается только в самой нечеткой форме представления числовых значений. Степень уверенности экспертов в этом случае имеет лишь неявное выражение через расплывчатость нечеткого числа. Кроме этого, нечеткие числа - это все-таки точечные оценки, хотя точка, вообще говоря, расфокусированная. В ряде случаев могут быть полезны интервальные оценки с указанием предпочтений экспертов внутри этих интервалов, т.е. речь идет о необходимости выполнения вычислений одновременно над количественными нечеткими оценками и качественными. Аналогичные задачи имеют место и в других направлениях инвестиционного анализа, например при оценке платежеспособности предприятия, которое рассматривается как объект инвестиций, когда наиболее полная оценка получается при учете как количественных значений, так и качественных оценок.

Рассмотрим методы вычислений, в которых участвуют количественные и качественные оценки, и оба вида оценок представлены нечеткими множествами. Для сокращения объема излагаемого материала подробно рассмотрим только один тип задач (первый из перечисленных в начале статьи), на остальные предлагаемые методы распространяются без каких-либо затруднений.

Пусть имеются два нечетких числа

/ \

~ ¦ ¦ - ¬

V = < ми (x) / x > , x принадлежит ¦a , b ¦;

x ¦ V ¦ L x x-

\ x /

/ \

~ ¦ ¦ - ¬

V = < ми (y) / y > , y принадлежит ¦a , b ¦. (1)

y ¦ V ¦ L y y-

\ y /

~ ~

Оценки возможных тенденций изменений значений V и V

x y

представлены нечеткими множествами (рис. 1).

Нечеткие оценки тенденций изменений

значений нечетких чисел

ми(z) /\

¦

¦ми ми ми

¦ 1 2 3

1*...........*...........*......

¦* *.* *

¦ * * . * *

¦ * * . * *

¦ * * . * *

¦ * * . * *

¦* *.* *

     
       ——*———————————*———————————*———————>
        0|          0,5         1,0       z
   
   Рис. 1
   
       S  = {ми (z) / z} —  существует   тенденция   смещения к левой
        1      1
   границе  диапазона;
   
       S  = {ми (z) / z} —  существует      возможность    сохранения
        2      2
   указанных  значений;
   
       S  = {ми (z) / z} —  существует тенденция  смещения  к  правой
        3      3
   границе диапазона.
   
       Для   других   задач  оценки  S , S , S  могут   иметь  другие
                                      1   2   3
   качественные   значения   и,  вообще  говоря, может быть иным и их
   число.  Треугольные   функции  принадлежности используются лишь по
   соображениям  простоты   графических   построений,  хотя во многих
   работах  по применению нечетких множеств в  экономических  задачах
   ограничиваются этим типом функций принадлежности.  Из  дальнейшего
   изложения  будет  очевидно,  что  выбор  треугольных   функций  не
   ограничивает общности полученных результатов.
   Интегральная оценка нечетких чисел с учетом предпочтений (см. рис. 1) обычно определяется как прямое произведение соответствующих нечетких множеств:
   
       ~    ~
       V  = V  S , i = 1, 2, 3...                                 (2)
        x    x  i
   
       Для  экономических  задач  соотношение  (2)  не   может   быть
   использовано,  так  как  оно  не  сохраняет   диапазон   возможных
                               ~   ~
   значений   нечетких  чисел  V , V .  Таким   образом,   необходимо
                                x   y
   модифицировать преобразование (2) так,  чтобы  сохранялся диапазон
   возможных  значений  исходных  нечетких  чисел  и  были  бы учтены
   предпочтения экспертов.
       Рассмотрим    решение   поставленной    задачи   на    примере
   суммирования   ожидаемых  доходов   по   двум  статьям  некоторого
   инвестиционного  проекта.  Ограничение  двумя  статьями не снижает
   общности  рассмотрения. Будем  также предполагать,  что  по объему
          /         \
   ~     |           |                 —      ¬
   V  = < ми  (x) / x >, x принадлежит |a , b |  эксперт предполагает
    x    |  V        |                 L x   x—
          \  x      /
   более   ожидаемым  смещение  в   нижнюю   сторону,  а   по  объему
          /         \
   ~     |           |                    —      ¬
   V  = < ми  (y) / y >,  y  принадлежит  |a , b |  —  в  верхнюю.  В
    y    |  V        |                    L y   y—
          \  y      /
   рассматриваемой  ситуации необходимо  решить, по крайней мере, две
   задачи:
   — построение модифицированного прямого произведения нечетких множеств
   
       ~      ~        ~      ~
       V' = F(V , S ), V' = F(V , S ).
        x      x   i    y      y   i
   
   Функционал F должен быть определен так, чтобы сохранялся диапазон значений оценок и учитывались предпочтения экспертов (качественные оценки);
   — вычисление суммарного объема ожидаемых поступлений.
       Рассмотрим  решение  первой  задачи.  Прежде   всего  носители
                  ~    ~
   нечетких чисел V  и V  приведем к ограниченному  диапазону [0, 1],
                   x    y
         —      ¬     —      ¬  —      ¬     —      ¬
   т. е. |a , b | ——> |a', b'|, |a , b | ——> |a', b'|,
         L x   x—     L x   x—  L y   y—     L y   y—
   
   где a', b' принадлежат [0, 1], a', b' принадлежат [0, 1].
        x   x                      y   y
   
   Модифицированное прямое произведение выполняется с помощью функций, представляющих собой диагонали прямоугольников, стороны которых образованы носителями соответствующих нечетких множеств (рис. 2, 3).
   
                                                           ~
                    Функция принадлежности нечеткого числа V
                                                            x
                         с учетом тенденции его изменения
   
                                x /\ ми(z)
                                   |
                                b' |
                                 x *..................
                .   V            */|                 *
                .    x       *  /— |               * .
                .        *....—/...|...........>*   .
                .    *       /     |           *.    .
                .* ........./......|.......> *  .    .
                .    *     /       |       *.   .    .
                .        *.\.......|...>.*  .   .    .
                .            * \   |   *.   .   .    .
                .                *\| *  .   .   .    .
                .                a *.......................
                .                 x| *  \/  .   .    .
                .                  |   *.   .   .    .
                .                  |    .*  .   .    .
                .                  |    .  *.   .    .
                .                  |    .   .*  \/   .
                .                  |    .   .  *.    .
                .                  |    .   .   .*   .
                .                  |    .   .   .  * .
            <——————————————————————+—————————————————*————————————>
           ми(x)                    a                 b           z
                                 1                 1
   
   Рис. 2
   
                                                           ~
                    Функция принадлежности нечеткого числа V
                                                            y
                         с учетом тенденции его изменения
   
                                y /\ ми(z)
                                   |
      .                            |
      .                          b |
      .                           y|
      .                            *..........................................*
      .                        **  |                 .                     **  .
      .                  *   *     |                 .                   * *   .
      .             *     *        |                 .                 *  *    .
      .        *.......*...........|...............................>.*  *      .
      .   *            *           |                 .             *.  *       .
   ...*.................*..........|...........................>.*  .*         .
      .   *         V    *         |                 .         *.   *          .
      .        *     y    *        |                 .       *  . * .          .
      .             *.......*......|.....................>.*    \/  .          .
      .                  *     *   |                 .   * .   *.   .          .
      .                       *  **|                 . *   \/*  .   .          .
      .                          a *.................*.....*....................
      .                           y|                 .    *.    .   .          .
      .                            |                 .  *  .    .   .          .
      .                            |                 . *   .    .   .          .
   <———————————————————————————————+—————————————————*—————————————————————————.—————>
         ми(y)                                       a                        b   z
                                                      3                        3
   
   Рис. 3
   
   Рисунки представляют также графическую иллюстрацию этих процедур. Как видно из рис. 2 и 3, для полученных функций принадлежности сохранились базовые множества с одновременной деформацией функций принадлежности в соответствии с высказанными предпочтениями экспертов. При этом, поскольку эксперты высказали предположительное мнение, произошло также и уменьшение максимальных значений функций принадлежности.
   Аналитически рассмотренное преобразование может быть описано следующим образом. Уравнение функции преобразования имеет вид:
   
       q = p  + kz, q, z принадлежит [0, 1].                      (3)
            0
   
       Для пары ми  (q),  ми
                  V         1(z)
                   x
   
           a''b  — a b'   b' — а'
            x  1    1 x    x    x
       q = ———————————— + ——————— z.
              b  — a      b  — a
               1    1      1    1
   
       Для пары ми  (z), ми
                  V        3(z)
                   y
   
           a'b  — a b'   b' — а'
            y 3    3 3    y    y
       q = ——————————— + ——————— z,
             b  — a      b  — a
              3    3      3    3
   
           a''b  — a b'   b' — а'
            x  1    1 x    x    x
       q = ———————————— + ——————— z.
              b  — a      b  — a
               1    1      1    1
   
       Для пары ми  (z), ми
                  V        3(z)
                   y
   
           a'b  — a b'   b' — а'
            y 3    3 3    y    y
       q = ——————————— + ——————— z.
              b  — a     b  — a
               3    3     3    3
   
       Алгоритм  построения  модифицированного  прямого  произведения
   заключается  в следующем.     Выбирается,    например,  точка  x
                                                                   пр
   принадлежит [a', b'].   В  уравнение  (3)   подставляется q = x  ,
                 x   x                                            пр
   вычисляются значения z(x  )  и  ми (z(x  )) для   рассматриваемого
                           пр        i    пр
   примера ми (z(x  )). Затем определяется
             1    пр
                      /                    \
                     |              —      ¬|
       ми (x) = min < ми  (x  ), ми |z(x  )| >.
         A           |  V   пр     1L   пр —|
                      \  x                 /
   
       В   результате   обработки  последовательности  значений   x
                                                                   пр
   получим  некоторое  множество  значений    ми (х  ).    Аналогично
                                                c  пр
   поступаем  с  нечеткой  переменной  y  ,   и    в   конечном итоге
                                        пр
   получаем ми (y  ).
              c  пр
       Таким  образом,  для  обеих  переменных   построены   нечеткие
   множества   их   предполагаемых  значений  с   учетом   экспертных
   предположений   о  возможных   тенденциях   их   изменений,   т.е.
   оказались  учтенными  не   только  количественные   значения, но и
   качественные  оценки.  Поскольку  полученные   нечеткие  множества
   определены  на  числовой  оси,  то  их  можно   рассматривать  как
   нечеткие  числа.  Новые  значения  V'  и  V'   можно,    например,
                                       x      y
   определить  как координаты максимума ми (x) и   ми (y).   Возможно
                                          c          c
   определение   V'   и   V'   по   координатам    центра     тяжести
                  x        y
   соответствующих  фигур.  Сами   функции   ми (х)  и  ми (y)  можно
                                               c          c
   рассматривать как соответствующие распределения возможностей.
   Арифметические операции над такими числами можно выполнять по любому из известных алгоритмов. При исходных треугольных функциях принадлежности их вид после описанных преобразований почти треугольный и поэтому здесь возможно применение LR—арифметики. Возможно предварительное приведение полученной функции к треугольному виду, например, с помощью операции EffPeak [1]. При произвольных функциях вычисления можно выполнять по обобщенной формуле Л. Заде, реализуя ее, например, с помощью метода перебора [3]. Однако это связано с достаточно большим объемом вычислений и не обеспечивает сколько—нибудь ощутимых преимуществ в смысле точности оценок. Можно предложить более простое решение, которое рассмотрим на примере операции суммирования. Обозначим
   
       лямбда  = max {ми (x)}, лямбда  = max {ми (y)}.
             x          c            y          c
   
                           лямбда  + лямбда
                                 x         y
       Определим лямбда  = —————————————————.
                       c          2
   
       Отметим,  что  эта  оценка  не учитывает различия  в  мощности
   нечетких множеств V' и V'. Если учитывается   это  обстоятельство,
                      x    y
   то
       лямбда  = лямбда  x W' + лямбда  x W' ,
             c         x    x         y    y
   
                     W            W
                      x            y
       где  W' =  ——————— W' = ———————.
             x    W  + W   y   W  + W
                   x    y       x    y
   
       Мощности   W    и    W    рассчитываются   с   использованием
                   x         y
   альфа—разбиений по формуле:
                            x
               1             j
       W = ———————— SUM SUM —— dальфа .
           альфа     i   j  n        i
                max          j
   
       С учетом  значения  лямбда  нижняя  граница суммы определяется
                                 c
   как
       A  = лямбда (а' + а'),
        c         c  x    y
   
       верхняя граница B  = лямбда (b' + b').
                        c         c  x    y
   
   Центральное значение определим как
   
       V  = лямбда (V' + ').
        c         c  x
   
   Проиллюстрируем изложенную методику на условном примере.
       Значение  V   оценивается   в   пределах  (1, 5), V  — (2, 8),
                  x                                       y
   уравнение      пересчета     X   = (x — 1) / 7,    лямбда  = 0,65;
                                 пр                         x
   лямбда  = 0,6;
         y
   
       лямбда  = 0,625.
             c
       Тогда a  = 1,875; b = 8,125; V  = 5,188, т. е.  с уверенностью
              c                      c
   0,625  суммарное   значение   переменных  X  и  Y  можно   ожидать
   в размере 5,188.
   
   В качестве другого примера рассмотрим оценку двух инвестиционных проектов методом сравнения прибыли. Предполагается, что нечеткими числами представлены ожидаемые издержки и выручка по двум анализируемым проектам.
       Проект 1          Проект 2
   
          Издержки за период
   
       A  = 31 000        А  = 32 000
        x                  x
       V  = 32 000        V  = 33 500
        x                  x
       B  = 33 000        B  = 35 000.
        x                  x
   
          Выручка за период
   
       A  = 36 750        A  = 37 200
        y                  y
       V  = 37 000        V  = 37 500
        y                  y
       В  = 37 250        B  = 37 800.
        y                  y
   По первому проекту эксперты высказали суждение, что смещение значения издержек за период можно ожидать в нижнюю сторону от среднего значения, выручка за период может сместиться в верхнюю сторону от среднего.
   По второму проекту можно ожидать смещение издержек в верхнюю сторону, выручка скорей всего останется на среднем уровне.
   Результаты расчетов:
       — по проекту 1 с уверенностью  лямбда   = 0,687 можно  ожидать
                                            с1
   уровень рентабельности 3,8;
       —   по   проекту   2   лямбда   =  0,837,  ожидаемый   уровень
                                    с2
   рентабельности 2,9.
       Для  сравнительной  оценки  объектов  инвестиций  можно ввести
   обобщенный критерий кси = лямбда V .
                                   c c
       Для первого объекта кси  = 2,6, для второго  кси  = 2,43,  что
                              1                        2
   можно   рассматривать   как  указание  на  большую  инвестиционную
   привлекательность проекта 1.
   Описанный выше метод, в котором при выполнении арифметических операций учитывается влияние факторов, имеющих качественное представление, можно использовать и в других задачах, например при оценке уровня платежеспособности. Сложность этой задачи заключается в том, что только при количественной оценке этого показателя отсутствует возможность учета специфических особенностей конкретного предприятия. Разные по своему характеру предприятия могут иметь одно и то же значение уровня платежеспособности. Введение качественных, специфичных для конкретного предприятия оценок дает основания по—разному интерпретировать числовые результаты. Например, в случае важнейшего показателя платежеспособности — коэффициента покрытия:
   
             К   = (О   + Д  + Д ) / К ,
              оп     см    з    с     з
   
       где О   — сумма материальных оборотных средств;
            см
       Д   —  дебиторская  задолженность;
        з
       Д  — денежные средства и краткосрочные финансовые вложения;
        с
       К  — краткосрочная задолженность предприятия.
        з
   Нечеткими качественными оценками можно, например, дополнить значение дебиторской задолженности, определив для некоторой ее доли оценку "безнадежная", для другой — "сомнительная", для третьей — "качественная" и т.п. Основная схема расчетов остается неизменной.
   Таким образом, предложенный алгоритм мягких вычислений позволяет вести инвестиционные расчеты, одновременно используя как количественные, так и качественные оценки. Это в конечном итоге позволяет получать интегральные оценки по проекту, что, несомненно, может привести к более рациональному решению.
   
   Литература
   
   1. Чернов В.Г. и др. Решение бизнес—задач средствами нечеткой алгебры. — Кн. 2: Электронная таблица Fuzzy Calc. — М.: Тора—Центр, 1998. — 70 c.
   2. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. — Рига: Зинатне, 1990. — 184 с.
   3. Анисимов В.Ю., Борисов Э.В. Методы и устройства преобразования нечетко определенных параметров при проектировании радиотехнических систем // Изв. ВУЗ сер. Радиотехника, 1985. — N 4. — С. 23 — 28.
   
   В.Г.Чернов
   К. т. н.,
   профессор, доцент
   Владимирский государственный университет
   Подписано в печать
   10.04.2007
   
   
   ——